例127 如图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.
（湖南省长沙市东区）
【分析1】先求大半圆的面积，再求小半圆的面积，用大半圆面积减去小半圆面积即得阴影部分的面积.
=1413-39.25
=1373.75（平方厘米）.
【分析2】先求大圆面积，再求小圆面积，用大圆面积减去小圆面积，再除以2即得阴影部分的面积.
=（2826-78.5）÷2
=2747.5÷2=1373.75（平方厘米）.
【分析3】本题是求半圆环面积.可先求圆环面积，再除以2即得.如果设大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环面积=πR2-πr2=π（R2-r2）
【解法3】R=60÷2=30（厘米）
r=10÷2=5（厘米）
3.14×（30×30-5×5）÷2
=3.14×（900-25）÷2
=2747.5÷2=1373.75（平方厘米）.
【评注】比较以上五种解法，前四种解法的综合算式可通过乘法分配律相互转化，其中解法3的运算简便，是本题的较好解法.
例129 从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后，剩下的是一个长方体，它的体积是32立方厘米.原来长方体最长的一条棱是多少厘米？
（山西省太原市）
【分析1】因为截下的是正方体，所以剩下长方体的截面是正方形.因此可求出剩下长方体的长，再加上截下正方体的棱长，即得原来长方体的最长棱.
【解法1】剩下长方体的长？
32÷（4×4）=2（厘米）
原来长方体的最长棱？
2+4=6（厘米）
综合算式：32÷（4×4）+4
=32÷16+4=6（厘米）.
【分析2】用剩下长方体的体积加上截下正方体的体积，即得原来长方体的体积.再根据“长方体体积=底面积×高”，用原长方体的体积除以底面积即得它的最长棱.
【解法2】截下正方体的体积？
4×4×4=64（立方厘米）
原来长方体的体积？
64+32=96（立方厘米）
原长方体的最长棱？
96÷（4×4）=6（厘米）
综合算式：（4×4×4+32）÷（4×4）
=（64+32）÷16=96÷16=6（厘米）.
【分析3】根据“剩下的长方体体积加上截下的正方体体积等于原来长方体的体积”这一等量关系，列方程解.
【解法3】设原来最长棱x厘米.
32+4×4×4=（4×4）x
32+64=16x
x=96÷16
x=6
【分析4】用比例解法.因为长方体的体积÷高=底面积，底面积一定，所以长方体的体积和高成正比例.即长方体的体积与最长棱成正比例.
【解法4】设原来最长棱x厘米.
（4×4×4）∶4=（32+4×4×4）∶x
64∶4=96∶x
64x=4×96
x=6
答：原来长方体的最长棱是6厘米.
【评注】后三种解法都需要求出原来长方体的体积，再求原来的最长棱，运算较繁.解法1的思路简单明白，且运算简便，所以是本题的最佳解法.
例131 把一个高3分米圆柱体的底面分成许多个相等的扇形，然后把圆柱体切开，拼成一个与它等高的近似长方体，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加12平方分米，原来圆柱体的体积是多少？
（福建省福州市）
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